【来源:老顾谈几何；转自：格致产业发展《扎哈的绝唱：大兴机场的几何赏析》2019.09】

 

伟大的数学和伟大的艺术精神实质是相通的，伟大的数学家和伟大的艺术家通过不同的途径领悟到自然的奥妙玄机，用不同的方式向芸芸众生传达语言难以描绘的优美深邃。

 

01、“凤凰展翅”的荣光时刻

 

2019年9月25日，北京大兴国际机场正式投入运营。这座全亚洲最大的国际机场在《卫报》评【世界七大奇迹】中，它被排在全球第一，高于沙特国王塔和港珠澳大桥。北京大兴国际机场，占地4.1万亩，造型酷似一只展翅高飞的凤凰。作为全球最大的机场航站楼，其屋盖钢架构的投影面积就达到18万平米，相当于25个标准足球场。4年时间，63个天安门广场的大小，800亿投资，1亿人次的年客流吞吐量……为了让阳光洒满整个机场，航站楼一共使用了12800块玻璃，白天室内几乎不需要照明灯光。整个航站楼有82个登机口，但是旅客从航站楼中心步行到达任何一个登机口，所需的时间不超过8分钟。

在经历了7次综合模拟演练、3场验证试飞之后，终于迎来它“凤凰展翅”的荣光时刻。

       大兴机场位于北京市中心以南46公里的大兴区，是为缓解首都现有机场的拥堵而开发的，70万平方米的紧凑客运航站楼包括一个8万平方米的地面运输中心，直接连接北京、全国高铁网络和地方列车服务。

（城建集团在施工中挂上了一面国旗）

 从高空俯瞰整个机场，是“凤凰展翅”般的造型，看起来好像也有点像“海星”，GBE君觉得像一只巨大的手掌将希望托起。

建筑外形是由流畅的曲线构成的，与周围融为一体，呈现出一派祥和的气息，仔细看航站楼屋顶的色彩，跟紫禁城阳光下的琉璃瓦是一样的颜色，与坐落于北京的古代皇家宫廷建筑遥相辉映。

绰号“海星”的北京大兴机场，拥有着世界上最大的单一建筑航站楼，之所以建得这样大，是因为这座机场年规划客运量达4500万人次，几年后更是要变成7200万人次，每年还要为400万吨货物提供服务。

机场屋顶面积相当于25个足球场，屋顶中心有一个巨大的六边形天窗，与六个条形天窗，八个气泡窗相互连接，将机场内部变成一个大型光庭。 

围绕主航站楼这个中心，有呈放射状，依次排开的五根指廊，这是旅客通过安检后休息和登机的地方。

还有最中间那条指廊，连接着工作和服务区，设有酒店等服务设施，大兴机场“五指廊”设计缩短了乘客步行时间。

航站楼的建筑风格呼应了中国传统建筑的原则，即围绕中心庭院组织相互连接的空间。设计引导所有乘客便捷穿过相关区域，到达位于航站楼中心的大厅。

 

航站楼紧凑的径向设计，为乘客提供了方便和灵活的操作，直接连接到航站楼的是79个带有气桥的门，它可以同时快速服务于6架A380客机的乘客。确保距离最远的登机门可以控制在步行时间不到8分钟。

       为了给乘客最大化的公共空间，设计师简化了建筑形式，将C形柱顶部与气泡天窗相接，使屋面与承重结构一体化，整个屋顶就用了8根C形柱来支撑，创造了几乎无柱的巨大中庭，阳光穿透玻璃撒满大厅，旅客沐浴着阳光开启自己的旅程。

 

图3 .六芒星的构型

 

共形几何作为自然界的一部分，其重要性迟早会在各个领域呈现；从陌生到熟悉，共形几何终归被会人们所接受并欣赏。

犹如一夜间，六芒星在北京凌空炸裂，亚纯微分在首都大地恣肆流淌。

图4. 北京大兴国际机场航拍近景

航站楼的屋顶被两族曲线剖分，和谐优雅，流畅灵动。站在航站楼内部，仰望穹庐，六芒星的构型更加突兀明显。老顾的学生们齐声尖叫：调和叶状结构，全纯二次微分。

图5 .北京大兴国际机场内部仰望穹顶结构

 

自由弯曲的曲面，诡异妖媚的曲线，稍微对建筑艺术有所了解的人一眼就可以看出：这觉绝对是建筑女魔头扎哈·哈迪德的典型风格！不错，大兴国际机场正是扎哈的遗世绝唱，天鹅之歌！

图6. 建筑界的女魔头，曲线之王扎哈·哈迪德

 

02、女魔头

 

扎哈·哈迪德（Zaha Hadid）天纵奇才，旧世界的颠覆者，新世界的征服者，第一个女性普利兹克奖获奖者！她彻底解构了传统的建筑美学标准，大胆运用几何结构来构造空间，其参数化（parametricism)设计使得建筑挣脱了重力的羁绊，在空中自由翱翔，其标志性的曲线更给她带来了无数的赞美和争议。

传统建制派的建筑师对她恨之入骨，而又寝食难安，他们从建筑的实用性、施工难度、和环境的融入程度方面责难扎哈的作品，肆无忌惮地嘲笑扎哈狂妄自大，刚愎自用，沽名钓誉，空洞浅薄。他们无视扎哈作品的恢弘壮丽、石破天惊，喋喋不休于屋顶漏水、表皮脱落、厕位笨拙。他们批判扎哈精神错乱，对历史无知，对自己智商盲目崇拜。这使得扎哈职业生涯的前二十年饱受摧残，所有的设计都只能停留在图纸之上，没有哪怕一件得以施工。

图7. 望京Soho

所有的设计都停留于图纸，在现实世界中四面楚歌。扎哈的才华最终挣脱了世俗的羁绊，得到了世人的爱戴和敬仰。但是，作为一名斗士，长期的精神摧残和超负荷的设计，使得扎哈在事业的巅峰期撒手人寰，抱憾而去，留下璀璨华丽的遗作：大兴机场，令人扼腕痛惜！

 

03、数学分析扎哈的突破

 

那么，从数学家的角度如何来评价扎哈的设计作品呢？扎哈的本质突破在哪里？其作品是精神失常的产物吗？还是归结为几何的必然？

老顾对建筑设计方面一无所知，但却是最懂扎哈作品之人，能够将扎哈的建筑风格提升到（数学）理论高度。

几何的突破 在传统建筑行业，几乎所有的作品都是横梁、立柱、平墙、方窗，换言之几乎所有的建筑表面都是平直的，高斯曲率几乎处处为零。这意味着传统建筑是基于欧几里得几何。只有极少数天才的设计突破了零曲率几何，例如高迪和扎哈。扎哈是绝无仅有的肆无忌惮地使用黎曼几何进行建筑设计的第一人。人类历史上，在长达数千年的期间，人类都认为平直的欧几里得几何是天然的、唯一真实的几何，直到爱因斯坦创建了广义相对论，人类才意识到原来自然时空是弯曲的，黎曼几何才是世界的真实图景。从这个角度而言，扎哈使人类明白了真实的建筑世界应该是弯曲的黎曼几何。

图8. 大兴机场内部的纽结结构

 

拓扑的突破 在传统建筑中，几乎所有的楼宇都是简单的拓扑球面，即大楼的整体表面没有环柄。扎哈以睥睨天下的气魄，将高亏格曲面大胆应用。

叶状结构 身为曲线之王，曲面的叶状结构（foliation）成为扎哈的终身标志。Foliation本意是落叶层叠之意，在拓扑中代表将高维流形规则地分解为低维流形，因此本质上是具有美学价值的解构。

图9. 小猫曲面的叶状结构

图9显示了小猫曲面的叶状结构，除了几个奇异点之外，曲面整体被分解为封闭圆圈（叶子），局部上看，这些圆圈彼此平行。对比图6，我们看到，望京Soho的大楼表面被分解成彼此平行的圆圈，这些圆圈构成了曲面的一个叶状结构。

图10. 高亏格曲面的叶状结构

图10显示了亏格为2的曲面上，三个彼此不同的叶状结构。在奇异点处，叶子成为三岔路口。我们将每片叶子在曲面上自由滑动，使得这些叶子的分布尽量流畅光滑，这种形变不会改变叶状结构的整体拓扑性质，但是会增加叶状结构的美学价值。两个叶状结构如果能够彼此形变成为对方，则我们说它们彼此等价。由共形几何理论，每个叶状结构都可以如此变换成一个最为流畅柔顺的叶状结构，即所谓的调和叶状结构，每个叶状结构等价类中，调和叶状结构存在并且唯一。

图11. 共轭调和叶状结构

每个调和叶状结构都有另外的一个调和叶状结构处处与之垂直，被称为共轭调和叶状结构。如图11所示，红色和蓝色的两个叶状结构彼此共轭。仔细观察图3和图4，用建筑术语讲，我们看到扎哈为大兴机场设计了两族彼此垂直的流畅曲线；用几何术语讲，扎哈对于流畅柔顺流线的极致追求，本质上导致了大兴机场设计中的共轭调和叶状结构。由此可见，美学的语言和几何语言在这个场景下彼此等价。

图12. 叶状结构中度为6的奇异点

图13. 叶状结构中度为8的奇异点

图14. 度为5的奇异点

 

04、扎哈建筑理论的深入思考

 

至此，我们得出结论，大兴机场的整体设计是共轭调和叶状结构，设计中心是叶状结构的奇异点。那么，我们自然会产生一系列的疑问，这些疑问的解答只能依赖于深刻的共形几何理论。

扎哈的大兴机场整体设计是共轭调和叶状结构，设计中心是叶状结构的奇异点。据说这些柔顺的曲线都是扎哈手绘出来的。大兴机场还没有对外开放，老顾还没有实地考察过内部设计。理论上，调和叶状结构都是可以自动计算出来的，但是现存于世的方法不超过两种。

图15. 调和叶状结构的算法

图15解释了我们算法的核心思路。如图所示，给定一个靠亏格曲面，我们计算一些封闭圈（红色曲线）满足条件：每条圈没有自相交；圈与圈彼此不相交；圈与圈彼此不同伦，即我们无法在曲面上将一条圈渐变成另外一条圈。我们尽量选取尽可能多的这种圈，直至无法在找到新圈为止。这些圈将曲面分解成一些碎片，每个碎片都是亏格为零的曲面带有三条边界，被称为是一条裤子。如此得到了曲面的一个裤子分解。

我们构造相应的裤子分解图（graph），每条裤子变成图中的一个结点（node），每条红圈变成图中的一条边（edge）。我们再为图中每条边赋予一个长度，然后计算从曲面到裤子分解图的映射，使得每条裤子映到相应结点；每条圆圈的邻域映到相应的边。调节映射，使得曲面映射的弹性形变能量最小，如此得到了曲面的图值调和映射（graph-valued harmonic map）。裤子分解图（graph）边上每一个点的原像是曲面上的一个圆圈，这些圆圈构成了曲面的一个调和叶状结构，每条裤子上都有一对奇异点。

共形几何理论表明扎哈设计的结构具有极强的刚性，可以说是牵一发而动全身，这意味着扎哈貌似惊世骇俗、大胆狂放的设计实际上是基于严格精密的理性。

扎哈仅仅凭借敏锐的审美，就从本质上深刻洞察到这些抽象的几何理论。这也正是扎哈无与伦比的伟大之处：对人世英勇无畏，对自然敬畏纯真。